그림과 같이 한 변의 길이가 1인 정육각형 ABCDEF가 있다. 점 P는 점 A에서 출발하여 점 F까지 화살표 방향으로 정육각형 ABCDEF의 변을 따라 움직인다. 점 P가 점 A로부터 움직인 거리가 x (0<x<5)일 때, 삼각형 PFA의 넓이를 f(x)라 하자. 다음은 함수 f(x)에 대하여 (f∘f)(a)=329인 모든 실수 a의 값의 곱을 구하는 과정이다.
(f∘f)(a)=f(f(a))=329에서f(a)=b라 하면
f(b)=329
이고, 함수 f(x)의 최댓값은 (가)이므로
0<b≤(가)
이다. 점 P가 점 A로부터 움직인 거리가 b인 점을 Q라 하면 삼각형 QFA의 넓이는 329이다.
점 Q에서 직선 FA에 내린 수선의 발을 H라 하면
QH=169
이므로
b=(나)
이다. 같은 방법으로 f(a)=(나)를 만족시키는 a (0<a<5)의 값을 구하면
a=xxxxx또는a=xxxxx
이다. 따라서 (f∘f)(a)=329를 만족시키는 모든 실수 a의 값의 곱은 (다)이다.
위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 p,q,r라 할 때, p×qr의 값은? [4점]
