2014학년도 4월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 B형 26번

좌표평면 위에 두 점 $\mathrm A(-2,0)$, $\mathrm B(-2,2\sqrt3)$이 있다.

두 행렬 $\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}$, $\frac12\begin{pmatrix}1&-\sqrt3\\\sqrt3&1\end{pmatrix}$로 나타내어지는 일차변환을 각각 $f$, $g$라 하고, 두 점 $\mathrm A$, $\mathrm B$가 합성변환 $g\circ f$에 의하여 옮겨진 점을 각각 $\mathrm A^{\prime}$, $\mathrm B^{\prime}$이라 하자.

선분 $\mathrm{A^{\prime}B^{\prime}}$이 $y$축과 만나는 점을 $\mathrm C$라 할 때, 삼각형 $\mathrm{OA^{\prime}B^{\prime}}$의 넓이는 삼각형 $\mathrm{OA^{\prime}C}$의 넓이의 $k$배이다. $4k^2$의 값을 구하시오. (단, $\mathrm O$는 원점이다.) [4점]