20. 수열 이 다음 조건을 만족시킨다. 이상의 자연수 에 대하여 다음은 의 값을 구하는 과정이다. 이상의 자연수 에 대하여 이므로 이고, 이 식을 정리하면 에서 양변에 를 대입하면 이다. ㉠과 ㉡에 의하여 위의 (가)에 알맞은 식을 이라 하고, (나), (다)에 알맞은 수를 각각 라 할 때, 의 값을 구하시오. [4점]

2025년 수능 공통 20번

Q2025년 수능 공통 20번

골드 IV

20. 수열 $\{a_n\}$ 이 다음 조건을 만족시킨다.

$a_1=7$

$2$ 이상의 자연수 $n$ 에 대하여

\sum_{k=1}^n a_k=\frac23a_n+\frac16n^2-\frac16n+10

다음은 $\sum_{k=1}^{12}a_k+\sum_{k=1}^5a_{2k+1}$ 의 값을 구하는 과정이다.

$2$ 이상의 자연수 $n$ 에 대하여 $a_{n+1}=\sum_{k=1}^{n+1}a_k-\sum_{k=1}^na_k$ 이므로

a_{n+1}=\frac23(a_{n+1}-a_n)+\boxed{\,\text{(가)}\,}

이고, 이 식을 정리하면

2a_n+a_{n+1}=3\times\boxed{\,\text{(가)}\,}\quad\cdots\cdots\text{㉠}

$\sum_{k=1}^n a_k=\frac23a_n+\frac16n^2-\frac16n+10\ (n\ge2)$ 에서 양변에 $n=2$ 를 대입하면

a_2=\boxed{\,\text{(나)}\,}\quad\cdots\cdots\text{㉡}

이다. ㉠과 ㉡에 의하여

\sum_{k=1}^{12}a_k+\sum_{k=1}^5a_{2k+1}=a_1+a_2+\sum_{k=1}^5(2a_{2k+1}+a_{2k+2})=\boxed{\,\text{(다)}\,}

위의 (가)에 알맞은 식을 $f(n)$ 이라 하고, (나), (다)에 알맞은 수를 각각 $p,q$ 라 할 때, $\frac{p\times q}{f(12)}$ 의 값을 구하시오. [4점]

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