2003학년도 4월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 예·체능계 20번

<증명>

$23p+1$이 완전제곱수가 되는 소수 $p$가 존재한다면

어떤 자연수 $n$에 대하여 $23p+1=n^2$꼴로 나타낼 수 있다.

$23p=(n-1)(n+1)$ … ①

$23$이 소수이므로 $n-1$과 $n+1$ 중 적어도 하나는 $23$의 배수이다.

ⅰ) $n-1$이 $23$의 배수일 때,

$n-1=23s$ ($s$는 자연수)로 놓고 이 식을 ①에 대입하면

$p=s(23s+2)$ … ②

그런데 $p$가 소수이므로 $s=\boxed{\mathrm A}$

이 값을 ②에 대입하면, $p=\boxed{\mathrm B}$

$\therefore\ p$는 소수가 아니다.

ⅱ) $n+1$이 $23$의 배수일 때,

$n+1=23t$ ($t$는 자연수)로 놓고 이 식을 ①에 대입하면

$p=t(23t-2)$ … ③

그런데 $p$가 소수이므로 $t=\boxed{\mathrm A}$

이 값을 ③에 대입하면, $p=\boxed{\mathrm C}$

$\therefore\ p$는 소수가 아니다.

따라서, $23p+1$이 완전제곱수가 되는 소수 $p$가 존재하지 않는다.