2007학년도 9월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 가형 13번

어느 공장에서 같은 제품을 만드는 기계 $\mathrm P$, $\mathrm Q$를 가동하여 $120$개의 제품을 생산하려고 한다. $\mathrm P$기계 $1$대와 $\mathrm Q$기계 $1$대를 동시에 가동하면 $40$일이 걸리고, $\mathrm P$기계 $2$대와 $\mathrm Q$기계 $3$대를 동시에 가동하면 $15$일이 걸린다고 한다.

기계 $\mathrm P$, $\mathrm Q$가 하루에 생산하는 제품의 개수를 각각 $p$, $q$라 할 때, 등식

이 성립한다. 이때, 상수 $a$, $b$의 합 $a+b$의 값은? [4점]

(단, $p$, $q$는 자연수이다.)