2013학년도 6월 고1 전국연합학력평가 수학 영역 19번

$\sqrt{n^2-1}$이 유리수라고 가정하면 $\sqrt{n^2-1}=\frac qp$ ($p$, $q$는 서로소인 자연수)로 놓을 수 있다.

이 식의 양변을 제곱하여 정리하면 $p^2(n^2-1)=q^2$이다.

$p$는 $q^2$의 약수이고 $p$, $q$는 서로소인 자연수이므로

$n^2=\boxed{\text{(가)}}$이다.

자연수 $k$에 대하여

(ⅰ) $q=2k$일 때

$(2k)^2<n^2<\boxed{\text{(나)}}$인 자연수 $n$은 존재하지 않는다.

(ⅱ) $q=2k+1$일 때

$\boxed{\text{(나)}}<n^2<(2k+2)^2$인 자연수 $n$은 존재하지 않는다.

(ⅰ)과 (ⅱ)에 의하여 $\sqrt{n^2-1}=\frac qp$ ($p$, $q$는 서로소인 자연수)를 만족하는 자연수 $n$은 존재하지 않는다.

따라서 $\sqrt{n^2-1}$은 무리수이다.