2016학년도 3월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 나형 14번

자연수 $n$에 대하여 좌표가 $(0,3n+1)$인 점을 $P_n$, 함수 $f(x)=x^2$ $(x\ge0)$이라 하자. 점 $P_n$을 지나고 $x$축과 평행한 직선이 곡선 $y=f(x)$와 만나는 점을 $Q_n$이라 하자.

곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $R_n$은 직선 $P_nR_n$의 기울기가 음수이고 $y$좌표가 자연수인 점이다. 삼각형 $P_nOQ_n$의 넓이를 $S_n$, 삼각형 $P_nOR_n$의 넓이가 최대일 때 삼각형 $P_nOR_n$의 넓이를 $T_n$이라 하자.

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{S_n-T_n}{\sqrt n}$의 값은? (단, O는 원점이다.) [4점]