2011학년도 9월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 가형 16번

<증명>

두 행렬 $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$, $X=\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}$라 두면 $AX=XA$이므로 $bz=\boxed{\text{(가)}}$, $(a-d)y=b(x-w)$, $(a-d)z=c(x-w)$이다.

(i) $a-d=0$인 경우

$A\ne kE$에서 $b\ne0$ 또는 $c\ne0$이므로 $x=w$이다.

㉠ $b\ne0$이면 $z=\frac{\boxed{\text{(가)}}}b$이므로

㉡ $c\ne0$이면 $y=\frac{bz}c$이므로

(ii) $a-d\ne0$인 경우

$y=\frac{b(x-w)}{a-d}$, $z=\frac{c(x-w)}{a-d}$이므로

이다.

(i)과 (ii)에 의해 이차정사각행렬 $X$는 $X=mA+nE$ 형태로 나타낼 수 있다.