2018학년도 7월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 나형 19번

그림과 같이 한 변의 길이가 $4$인 정삼각형 $\mathrm A_1\mathrm B_1\mathrm C_1$이 있다. 세 선분 $\mathrm B_1\mathrm C_1$, $\mathrm C_1\mathrm A_1$, $\mathrm A_1\mathrm B_1$의 중점을 각각 $\mathrm A_2$, $\mathrm B_2$, $\mathrm C_2$라 하자. 선분 $\mathrm C_1\mathrm C_2$를 지름으로 하는 반원의 호와 선분 $\mathrm B_2\mathrm A_2$의 연장선이 만나는 점을 $\mathrm P_1$, 선분 $\mathrm B_1\mathrm B_2$를 지름으로 하는 반원의 호와 선분 $\mathrm C_2\mathrm A_2$의 연장선이 만나는 점을 $\mathrm Q_1$이라 하자.

두 선분 $\mathrm C_2\mathrm A_2$, $\mathrm A_2\mathrm P_1$과 호 $\mathrm P_1\mathrm C_2$로 둘러싸인 영역과 두 선분 $\mathrm B_2\mathrm A_2$, $\mathrm A_2\mathrm Q_1$과 호 $\mathrm Q_1\mathrm B_2$로 둘러싸인 영역에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.

그림 $R_1$에서 정삼각형 $\mathrm A_2\mathrm B_2\mathrm C_2$의 세 변 $\mathrm B_2\mathrm C_2$, $\mathrm C_2\mathrm A_2$, $\mathrm A_2\mathrm B_2$의 중점을 각각 $\mathrm A_3$, $\mathrm B_3$, $\mathrm C_3$이라 하자. 선분 $\mathrm C_2\mathrm C_3$을 지름으로 하는 반원의 호와 선분 $\mathrm B_3\mathrm A_3$의 연장선이 만나는 점을 $\mathrm P_2$, 선분 $\mathrm B_2\mathrm B_3$을 지름으로 하는 반원의 호와 선분 $\mathrm C_3\mathrm A_3$의 연장선이 만나는 점을 $\mathrm Q_2$라 하자. 두 선분 $\mathrm C_3\mathrm A_3$, $\mathrm A_3\mathrm P_2$와 호 $\mathrm P_2\mathrm C_3$으로 둘러싸인 영역과 두 선분 $\mathrm B_3\mathrm A_3$, $\mathrm A_3\mathrm Q_2$와 호 $\mathrm Q_2\mathrm B_3$로 둘러싸인 영역에 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\lim_{n\to\infty}S_n$의 값은? [4점]