다음은 2 이상의 모든 자연수 n에 대하여
1+221+321+⋯+n21<2−n1 임을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.
<증명>
(i) n=(가)일 때,
(좌변)=1+221=45<2−21=23=(우변) 따라서, n=(가)일 때, 주어진 식은 성립한다.
(ii) n=k (n≥2)일 때, 주어진 식이 성립한다고 가정하면
1+221+321+⋯+k21<2−k1 이다.
위 식의 양변에 (k+1)21을 더하면
1+221+321+⋯+k21+(k+1)21<2−k1+(k+1)21 그런데
{−k1+(k+1)21}−(나)=−k(k+1)21<0 이므로
2−k1+(k+1)21<2−k+11 이다.
따라서, n=k+1일 때에도 성립한다.
(i), (ii)에 의하여 n≥2인 모든 자연수 n에 대하여
1+221+321+⋯+n21<2−n1 이 성립한다.
이 증명 과정에서 (가), (나)에 알맞은 내용을 바르게 짝지은 것은? [3점]
