2027학년도 대학수학능력시험 9월 모의평가 수학 영역 미적분 28번

점 O를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $2$인 원 $C$가 있다. $\overline{\mathrm{OA}}=5$인 점 A에 대하여 선분 OA와 원 $C$가 만나는 점을 B라 하자. 점 A를 지나고 점 O를 지나지 않는 직선이 원 $C$와 서로 다른 두 점에서 만날 때, 두 점을 P, Q$\ (\overline{\mathrm{AP}}<\overline{\mathrm{AQ}})$라 하자. 점 Q를 포함하지 않는 호 BP와 두 선분 AB, AP로 둘러싸인 도형의 넓이를 $t$라 할 때, $\angle \mathrm{OPQ}=f(t)$라 하면 $f(t)$는 미분가능한 함수이다. $\tan f(k)=\frac{3}{2}$인 실수 $k$에 대하여 $f^{\prime}(k)$의 값은? [4점]