$0\le x<4$일 때 $f(x)=-x^2+4x$이고, 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x+4)=f(x)$이다.

방정식 $f(x)=x$의 모든 실근이 $0,3$이므로 방정식 $f(f(x))=f(x)$의 실근을 구하는 것은 방정식 $f(x)(f(x)-3)=0$의 실근을 구하는 것과 같다.

$0\le x<4$일 때, 방정식 $f(x)(f(x)-3)=0$의 모든 실근은 $0,\boxed{\,\text{(가)}\,},3$이므로 $a_1=0,\ a_2=\boxed{\,\text{(가)}\,},\ a_3=3$이다. 또한 세 수열 $\{a_{3n-2}\},\{a_{3n-1}\},\{a_{3n}\}$은 첫째항이 각각 $0,\boxed{\,\text{(가)}\,},3$이고 공차가 모두 $\boxed{\,\text{(나)}\,}$인 등차수열이다. 따라서 $a_{20}+a_{21}+a_{22}=\boxed{\,\text{(다)}\,}$이다.