2010학년도 9월 고1 전국연합학력평가 수학 영역 19번

다음은 $x=\frac{b-c}{1+bc}$, $y=\frac{c-a}{1+ca}$, $z=\frac{a-b}{1+ab}$일 때, $x+y+z=\boxed{\text{(가)}}$임을 증명하는 과정이다. [4점]

<증명>

$x=\frac{b-c}{1+bc}$에서 $(1+bc)x=b-c$이고, 정리하면 $(bx+1)c=b-x$ ⋯①

같은 방법으로 $y=\frac{c-a}{1+ca}$에서 $(ay-1)c=-a-y$ ⋯②

①과 ②에서 $(a+y)(bx+1)c=\boxed{\text{(나)}}(ay-1)c$ ⋯③

(i) ③에서 $c\ne0$이면 $(a+y)(bx+1)=\boxed{\text{(나)}}(ay-1)$이고 정리하면

$(ab+1)(x+y)=\boxed{\text{(다)}}(xy-1)$

$ab+1\ne0$이므로 $x+y=\frac{\boxed{\text{(다)}}}{ab+1}(xy-1)$

$x+y+z=\boxed{\text{(가)}}$

(ii) ③에서 $c=0$이면 $x=b$, $y=-a$, $z=\frac{a-b}{1+ab}$이므로 $x+y+z=\boxed{\text{(가)}}$

따라서 $x=\frac{b-c}{1+bc}$, $y=\frac{c-a}{1+ca}$, $z=\frac{a-b}{1+ab}$일 때, $x+y+z=\boxed{\text{(가)}}$이다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?