2017학년도 4월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 나형 18번

그림과 같이 한 변의 길이가 $4$인 정사각형 $\mathrm{ABCD}$에서 선분 $\mathrm{AB}$, 선분 $\mathrm{CD}$, 선분 $\mathrm{DA}$의 중점을 각각 $\mathrm E$, $\mathrm F$, $\mathrm G$라 하자. 선분 $\mathrm{EG}$를 한 변으로 하고 점 $\mathrm A$가 내부에 있도록 정삼각형 $\mathrm{EGH}$를 그리고, 선분 $\mathrm{GF}$를 한 변으로 하고 점 $\mathrm D$가 내부에 있도록 정삼각형 $\mathrm{GFI}$를 그린다. 두 정삼각형 $\mathrm{EGH}$, $\mathrm{GFI}$의 내부와 정사각형 $\mathrm{ABCD}$의 외부의 공통부분인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.

그림 $R_1$에서 선분 $\mathrm{HG}$의 중점을 $\mathrm M$, 선분 $\mathrm{IG}$의 중점을 $\mathrm N$이라 하고, 선분 $\mathrm{HM}$을 한 변으로 하는 정사각형 $T_1$과 선분 $\mathrm{IN}$을 한 변으로 하는 정사각형 $T_2$를 각각 정사각형 $\mathrm{ABCD}$와 만나지 않게 그린다. 정사각형 $T_1$, $T_2$에 각각 그림 $R_1$을 얻은 것과 같은 방법으로 모양의 $2$개의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n$의 값은? [4점]