2016학년도 4월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 나형 20번

그림과 같이 한 변의 길이가 $4$인 정사각형에 내접하는 원 $O_1$이 있다. 정사각형과 원 $O_1$의 접점을 각각 $\mathrm A_1$, $\mathrm B_1$, $\mathrm C_1$, $\mathrm D_1$이라 할 때, 원 $O_1$과 두 선분 $\mathrm A_1\mathrm B_1$, $\mathrm B_1\mathrm C_1$로 둘러싸인모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.

그림 $R_1$에서 두 선분 $\mathrm A_1\mathrm B_1$, $\mathrm B_1\mathrm C_1$을 각각 $3:1$로 내분하는 두 점을 이은 선분을 한 변으로 하는 정사각형을 원 $O_1$의 내부에 그린다. 이 정사각형에 내접하는 원을 $O_2$라 하고 그 접점을 각각 $\mathrm A_2$, $\mathrm B_2$, $\mathrm C_2$, $\mathrm D_2$라 할 때, 원 $O_2$와 두 선분 $\mathrm A_2\mathrm B_2$, $\mathrm B_2\mathrm C_2$로 둘러싸인모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.

그림 $R_2$에서 두 선분 $\mathrm A_2\mathrm B_2$, $\mathrm B_2\mathrm C_2$를 각각 $3:1$로 내분하는 두 점을 이은 선분을 한 변으로 하는 정사각형에 그림 $R_1$에서 그림 $R_2$를 얻는 것과 같은 방법으로 만들어진모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_3$이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n$의 값은? [4점]