파란띠 1기출문제

2005학년도 6월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 가형 9번

다음은 자연수 $a$ 가 홀수일 때, 행렬 $A=\begin{pmatrix}1&a\\a^2&a^3\end{pmatrix}$ 에 대하여 $A^2$ 의 모든 성분의 합은 $4$ 의 배수임을 증명한 것이다.

<증명>

A^2=\begin{pmatrix}1&a\\a^2&a^3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&a\\a^2&a^3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+a^3&a+a^4\\a^2+a^5&\boxed{\text{(가)}}\end{pmatrix}

이므로 $A^2$ 의 모든 성분의 합은

(1+a^3)+(a+a^4)+(a^2+a^5)+\boxed{\text{(가)}}=(1+a^3)\boxed{\text{(나)}}

$1+a^3$ 은 $\boxed{\text{(다)}}$ 이고 $\boxed{\text{(나)}}$ 은(도) $\boxed{\text{(라)}}$ 이다.

따라서 $A^2$ 의 모든 성분의 합은 $4$ 의 배수가 된다.

위의 증명에서 (가), (나), (다), (라)에 알맞은 것은? [3점]

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