2011학년도 10월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 가형 19번

그림과 같이 원점 $O$와 점 $A\left(\dfrac12,\;0\right)$에 대하여 선분 $OA$와 곡선 $y=1+\log_2x\;\left(\dfrac12\le x\le4\right)$를 $y$축을 둘레로 회전시켜 만든 회전체 모양의 그릇이 있다.

이 그릇을 평평한 바닥에 놓고 매초 $12\pi\mathrm{cm}^3$의 일정한 비율로 물을 넣고 있다. 수면이 상승하는 속도가 $6\mathrm{cm}/\text{초}$가 되는 순간의 수면의 높이는 $a\mathrm{cm}$이다. $a$의 값은? (단, 좌표축의 눈금 단위는 $\mathrm{cm}$이다.) [4점]