2024학년도 사관학교 1차 선발시험 수학 영역 공통 21번

두 양수 $a,\,b$에 대하여 두 함수

의 그래프가 만나는 점 중에서 $x$좌표가 $0$보다 크고 $\dfrac{5\pi}{2b}$보다 작은 세 점을 $x$좌표가 작은 점부터 $x$좌표의 크기순으로 $\mathrm{A_1},\,\mathrm{A_2},\,\mathrm{A_3}$이라 하자. 선분 $\mathrm{A_1A_3}$을 지름으로 하는 원이 점 $\mathrm{A_2}$를 지나고 이 원의 넓이가 $\pi$일 때, $\displaystyle\left(\dfrac ab\pi\right)^2=\dfrac qp$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]