2024학년도 사관학교 1차 선발시험 수학 영역 공통 21번

두 양수 $a,b$에 대하여 두 함수

의 그래프가 만나는 점 중에서 $x$좌표가 $0$보다 크고 $\frac{5\pi}{2b}$보다 작은 세 점을 $x$좌표가 작은 점부터 $A_1,A_2,A_3$이라 하자. 선분 $A_1A_3$을 지름으로 하는 원이 점 $A_2$를 지나고 이 원의 넓이가 $\pi$일 때, $\displaystyle\left(\frac ab\pi\right)^2=\frac qp$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p,q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]