2023학년도 사관학교 1차 선발시험 수학 영역 확률과 통계 29번

서로 다른 두 자연수 $a,\,b$에 대하여 두 확률변수 $X,\,Y$가 각각 정규분포 $\mathrm{N}\left(a,\,\sigma^2\right)$, $\mathrm{N}\left(2b-a,\,\sigma^2\right)$을 따른다. 확률변수 $X$의 확률밀도함수 $f\left(x\right)$와 확률변수 $Y$의 확률밀도함수 $g\left(x\right)$가 다음 조건을 만족시킬 때, $a+b$의 값을 구하시오. [4점]