2012학년도 10월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 가형 21번

그림과 같이 중심이 $(1,\,0)$이고 반지름의 길이가 $1$인 원 $O_1$이 있다. 원 $O_1$이 직선 $y=\frac1{\sqrt3}x$와 만나는 점 중에서 원점이 아닌 점을 $\mathrm A_1$이라 하고 직선 $y=\frac1{\sqrt3}x$의 위 쪽에 있는 호 $\mathrm O\mathrm A_1$의 길이를 $l_1$이라 하자.

중심이 $(l_1,\,0)$이고 반지름의 길이가 $l_1$인 원 $O_2$를 그린다. 원 $O_2$가 직선 $y=\frac1{\sqrt3}x$와 만나는 점 중에서 원점이 아닌 점을 $\mathrm A_2$라 하고 직선 $y=\frac1{\sqrt3}x$의 위 쪽에 있는 호 $\mathrm O\mathrm A_2$의 길이를 $l_2$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 호의 길이를 $l_n$이라 할 때, $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{l_n}$의 값은? [4점]