2022학년도 사관학교 1차 선발시험 수학 영역 미적분 26번

그림과 같이 $\overline{\mathrm{AB_1}}=2,\overline{\mathrm{AD_1}}=\sqrt5$인 직사각형 $\mathrm{AB_1C_1D_1}$이 있다. 중심이 $\mathrm A$이고 반지름의 길이가 $\overline{\mathrm{AD_1}}$인 원과 선분 $\mathrm{B_1C_1}$의 교점을 $\mathrm{E_1}$, 중심이 $\mathrm{C_1}$이고 반지름의 길이가 $\overline{\mathrm{C_1D_1}}$인 원과 선분 $\mathrm{B_1C_1}$의 교점을 $\mathrm{F_1}$이라 하자. 호 $\mathrm{D_1F_1}$과 두 선분 $\mathrm{D_1E_1},\mathrm{F_1E_1}$로 둘러싸인 부분에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.

그림 $R_1$에서 선분 $\mathrm{AB_1}$ 위의 점 $\mathrm{B_2}$, 호 $\mathrm{D_1F_1}$ 위의 점 $\mathrm{C_2}$, 선분 $\mathrm{AD_1}$ 위의 점 $\mathrm{D_2}$와 점 $\mathrm A$를 꼭짓점으로 하고 $\overline{\mathrm{AB_2}}:\overline{\mathrm{AD_2}}=2:\sqrt5$인 직사각형 $\mathrm{AB_2C_2D_2}$를 그린다. 중심이 $\mathrm A$이고 반지름의 길이가 $\overline{\mathrm{AD_2}}$인 원과 선분 $\mathrm{B_2C_2}$의 교점을 $\mathrm{E_2}$, 중심이 $\mathrm{C_2}$이고 반지름의 길이가 $\overline{\mathrm{C_2D_2}}$인 원과 선분 $\mathrm{B_2C_2}$의 교점을 $\mathrm{F_2}$라 하자. 호 $\mathrm{D_2F_2}$와 두 선분 $\mathrm{D_2E_2},\mathrm{F_2E_2}$로 둘러싸인 부분에 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n$의 값은? [3점]