2022학년도 10월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 미적분 27번

그림과 같이 $\overline{A_1B_1}=1,\ \overline{B_1C_1}=2\sqrt{6}$인 직사각형 $A_1B_1C_1D_1$이 있다. 중심이 $B_1$이고 반지름의 길이가 1인 원이 선분 $B_1C_1$과 만나는 점을 $E_1$이라 하고, 중심이 $D_1$이고 반지름의 길이가 1인 원이 선분 $A_1D_1$과 만나는 점을 $F_1$이라 하자. 선분 $B_1D_1$이 호 $A_1E_1$, 호 $C_1F_1$과 만나는 점을 각각 $B_2,D_2$라 하고, 두 선분 $B_1B_2,D_1D_2$의 중점을 각각 $G_1,H_1$이라 하자.

두 선분 $A_1G_1,G_1B_2$와 호 $B_2A_1$로 둘러싸인 부분인 모양의 도형과 두 선분 $D_2H_1,H_1F_1$과 호 $F_1D_2$로 둘러싸인 부분인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.

그림 $R_1$에서 선분 $B_2D_2$가 대각선이고 모든 변이 선분 $A_1B_1$ 또는 선분 $B_1C_1$에 평행한 직사각형 $A_2B_2C_2D_2$를 그린다. 직사각형 $A_2B_2C_2D_2$에 그림 $R_1$을 얻은 것과 같은 방법으로 모양의 도형과 모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n$의 값은? [3점]