2024학년도 대학수학능력시험 9월 모의평가 수학 영역 기하 28번

좌표공간에 중심이 $\mathrm{A}\left(0,\,0,\,1\right)$이고 반지름의 길이가 $4$인 구 $S$가 있다. 구 $S$가 $xy$평면과 만나서 생기는 원을 $C$라 하고, 점 $\mathrm{A}$에서 선분 $\mathrm{PQ}$까지의 거리가 $2$가 되도록 원 $C$ 위에 두 점 $\mathrm{P},\,\mathrm{Q}$를 잡는다. 구 $S$가 선분 $\mathrm{PQ}$를 지름으로 하는 구 $T$와 만나서 생기는 원 위에서 점 $\mathrm{B}$가 움직일 때, 삼각형 $\mathrm{BPQ}$의 $xy$평면 위로의 정사영의 넓이의 최댓값은?
(단, 점 $\mathrm{B}$의 $z$좌표는 양수이다.) [4점]