다음은 좌표평면 위의 점 C(3, 51)을 중심으로 하고, x좌표, y좌표가 모두 정수인 점 P를 지나는 원을 그리면 이 원 위의 점들 중에는 x좌표, y좌표가 모두 정수인 점이 P 외에 존재하지 않음을 증명한 것이다.
<증명>
원 위에 점 P(a, b) (a, b는 정수)가 아닌 다른 점 Q(c, d) (c, d는 정수)가 존재한다고 가정하자.
CP=CQ이므로
(a−3)2+(b−51)2=(c−3)2+(d−51)2 양변을 제곱하여 정리하면
a2−c2+b2−d2−52(b−d)=(가)⋯ ① ①에서 좌변은 (나) 이므로 a−c=0
∴ b2−d2−52(b−d)=0⋯ ② ②에서 b, d는 정수이므로 (다)
따라서 이 원 위의 점들 중에는 x좌표, y좌표가 모두 정수인 점이 P 외에 존재하지 않는다.
위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점]
