2022학년도 11월 고1 전국연합학력평가 수학 영역 30번

두 양수 $a$, $m$에 대하여 두 함수 $f(x)$, $g(x)$를

라 하자. 그림과 같이 곡선 $y=f(x)$와 직선 $y=g(x)$가 만나는 두 점을 $\mathrm A$, $\mathrm B$라 할 때, 선분 $\mathrm{AB}$를 지름으로 하고 원점 $\mathrm O$를 지나는 원 $\mathcal C$가 있다. 원 $\mathcal C$와 곡선 $y=f(x)$는 서로 다른 네 점에서 만나고, 원 $\mathcal C$와 곡선 $y=f(x)$가 만나는 네 점 중 $\mathrm O$, $\mathrm A$, $\mathrm B$가 아닌 점을 $\mathrm P(k,f(k))$라 하자. 삼각형 $\mathrm{ABP}$의 넓이가 삼각형 $\mathrm{AOB}$의 넓이의 $5$배일 때, $f(k)\times g(-k)$의 값을 구하시오. [4점]