세 점 O(0,0), A(a,0), B(0,b)를 꼭지점으로 하는 직각삼각형 OAB가 있다. 두 변 OA, OB 위에 AB//CD가 되도록 두 점 C(c,0), D(0,d)를 잡는다.
다음은 두 직선 AD, BC의 교점을 P라 할 때, 직선 OP는 선분 AB를 이등분함을 증명한 것이다.
<증명>
직선 AD의 방정식은 (가) …… ㉠
직선 BC의 방정식은 (나) …… ㉡
이제 점 P의 좌표를 (p,q)라 하자.
㉠×c－㉡×a를 계산하면 x=cd−abac(d−b)=p
㉡×d－㉠×b를 계산하면 y=cd−abbd(c−a)=q
그런데 AB//CD이므로 직선 AB와 직선 CD의 기울기는 같다.
∴ −ab=−cd 이 때, ab=cd=k (k는 실수)라 하면
pq=ac(d−b)bd(c−a)=(다) ∴ ∠OAB=∠POA,∠OBA=∠POB 직선 OP와 AB의 교점을 M이라 하면
BM=OM=AM 따라서 직선 OP는 선분 AB를 이등분한다.
위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점]
