2022학년도 4월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 미적분 28번

그림과 같이 $\overline{\mathrm A_1\mathrm B_1}=2$, $\overline{\mathrm B_1\mathrm C_1}=2\sqrt3$인 직사각형 $\mathrm A_1\mathrm B_1\mathrm C_1\mathrm D_1$이 있다. 선분 $\mathrm A_1\mathrm D_1$을 $1:2$로 내분하는 점을 $\mathrm E_1$이라 하고 선분 $\mathrm B_1\mathrm C_1$을 지름으로 하는 반원의 호 $\mathrm B_1\mathrm C_1$이 두 선분 $\mathrm B_1\mathrm E_1$, $\mathrm B_1\mathrm D_1$과 만나는 점 중 점 $\mathrm B_1$이 아닌 점을 각각 $\mathrm F_1$, $\mathrm G_1$이라 하자.

세 선분 $\mathrm F_1\mathrm E_1$, $\mathrm E_1\mathrm D_1$, $\mathrm D_1\mathrm G_1$과 호 $\mathrm F_1\mathrm G_1$로 둘러싸인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.

그림 $R_1$에 선분 $\mathrm B_1\mathrm G_1$ 위의 점 $\mathrm A_2$, 호 $\mathrm G_1\mathrm C_1$ 위의 점 $\mathrm D_2$와 선분 $\mathrm B_1\mathrm C_1$ 위의 두 점 $\mathrm B_2$, $\mathrm C_2$를 꼭짓점으로 하고 $\overline{\mathrm A_2\mathrm B_2}:\overline{\mathrm B_2\mathrm C_2}=1:\sqrt3$인 직사각형 $\mathrm A_2\mathrm B_2\mathrm C_2\mathrm D_2$를 그린다.

직사각형 $\mathrm A_2\mathrm B_2\mathrm C_2\mathrm D_2$에 그림 $R_1$을 얻은 것과 같은 방법으로 모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\lim\limits_{n\to\infty}S_n$의 값은? [4점]