2004학년도 4월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 나형 29번

그림과 같이 직각이등변삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 꼭지점 $\mathrm A$를 중심, $\overline{\mathrm{AB}}$를 반지름으로 하는 원을 그렸을 때, $\overline{\mathrm{AC}}$와 만나는 점을 $\mathrm A_1$, $\overline{\mathrm{AC}}\perp\overline{\mathrm{A_1B_1}}$이면서 $\overline{\mathrm{BC}}$ 위에 있는 점을 $\mathrm B_1$, 다시 꼭지점 $\mathrm B_1$을 중심, $\overline{\mathrm{A_1B_1}}$을 반지름으로 하는 원을 그렸을 때, $\overline{\mathrm{CB_1}}$과 만나는 점을 $\mathrm B_2$, $\overline{\mathrm{CB_1}}\perp\overline{\mathrm{A_2B_2}}$이면서 $\overline{\mathrm{A_1C}}$ 위에 있는 점을 $\mathrm A_2$라고 정하기로 한다.

위와 같은 과정을 계속 반복해 나갈 때,

$\overline{\mathrm{AB}}+\overline{\mathrm{A_1B_1}}+\overline{\mathrm{A_2B_2}}+\cdots$의 값은? (단, $\overline{\mathrm{AB}}=2$) [4점]