2014학년도 10월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 A형 18번

빗변 $\mathrm{BC}$의 길이가 2인 직각이등변삼각형 $\mathrm{ABC}$가 있다. 그림과 같이 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 직각을 낀 두 변에 내접하고 두 점 $\mathrm B_1$, $\mathrm C_1$이 선분 $\mathrm{BC}$ 위에 놓이도록 정사각형 $\mathrm P_1\mathrm B_1\mathrm C_1\mathrm Q_1$을 그린다. 중심이 $\mathrm A$, 반지름의 길이가 $\overline{\mathrm{AP_1}}$이고 중심각의 크기가 $\dfrac\pi2$인 부채꼴 $\mathrm{AP_1Q_1}$을 그린 후 부채꼴 $\mathrm{AP_1Q_1}$의 호 $\mathrm P_1\mathrm Q_1$과 선분 $\mathrm P_1\mathrm Q_1$로 둘러싸인 부분인 모양에 색칠하여 얻은 그림을 $F_1$이라 하자.

그림 $F_1$에 선분 $\mathrm B_1\mathrm C_1$을 빗변으로 하는 직각이등변삼각형 $\mathrm A_1\mathrm B_1\mathrm C_1$을 그리고, 직각이등변삼각형 $\mathrm A_1\mathrm B_1\mathrm C_1$에서 그림 $F_1$을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어 지는 모양에 색칠하여 얻은 그림을 $F_2$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $F_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}S_n$의 값은? [4점]