접선이 이루는 넓이

실수 $k$와 $2$ 이상의 자연수 $n$에 대하여 두 곡선

가 $x$좌표가 음수인 점 $\mathrm{A}$에서 공통인 접선 $l$을 갖는다. 직선 $l$이 $x$축, $y$축과 만나는 점을 각각 $\mathrm{B}, \mathrm{C}$라 하고, 점 $\mathrm{A}$를 지나고 직선 $l$에 수직인 직선 $m$이 $x$축과 만나는 점을 $\mathrm{D}$라 하자. 삼각형 $\mathrm{OBC}$의 넓이를 $a_n$, 삼각형 $\mathrm{ABD}$의 넓이를 $b_n$이라 할 때,

의 값을 구하시오. (단, $\mathrm{O}$는 원점이다.)