초록띠 5기출문제

2024학년도 대학수학능력시험 9월 모의평가 수학 영역 공통 20번

그림과 같이

\overline{\mathrm{AB}}=2,\,\overline{\mathrm{AD}}=1,\,\angle \mathrm{DAB}=\dfrac23\pi,\,\angle \mathrm{BCD}=\dfrac34\pi

인 사각형 $\mathrm{ABCD}$ 가 있다. 삼각형 $\mathrm{BCD}$ 의 외접원의 반지름의 길이를 $R_1$ , 삼각형 $\mathrm{ABD}$ 의 외접원의 반지름의 길이를 $R_2$ 라 하자.

다음은 $R_1\times R_2$ 의 값을 구하는 과정이다.

삼각형 $\mathrm{BCD}$ 에서 사인법칙에 의하여

R_1=\dfrac{\sqrt2}{2}\times\overline{\mathrm{BD}}

이고, 삼각형 $\mathrm{ABD}$ 에서 사인법칙에 의하여

R_2=\boxed{\,\left(\text{가}\right)\,}\times\overline{\mathrm{BD}}

이다. 삼각형 $\mathrm{ABD}$ 에서 코사인법칙에 의하여

\overline{\mathrm{BD}}^2=2^2+1^2-\left(\boxed{\,\left(\text{나}\right)\,}\right)

이므로

R_1\times R_2=\boxed{\,\left(\text{다}\right)\,}

이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 $p,\,q,\,r$ 이라 할 때, $9\times\left(p\times q\times r\right)^2$ 의 값을 구하시오. [4점]

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