30. 그림과 같이 자연수 에 대하여 곡선 위에 있고 원점 와의 거리가 인 점을 이라 하고, 점 에서 축에 내린 수선의 발을 이라 하자. 중심이 이고 점 을 지나는 원을 이라 할 때, 곡선 과 원 의 교점 중 원점에 가까운 점을 , 원점에서 원 에 그은 두 접선의 접점 중 이 아닌 점을 이라 하자. 점 을 포함하지 않는 호 과 선분 , 곡선 으로 둘러싸인 부분의 넓이를 , 점 을 포함하지 않는 호 과 선분 , 곡선 으로 둘러싸인 부분의 넓이를 이라 할 때, 이다. 의 값을 구하시오. (단, 는 상수이다.) [4점]

2022년 3월 고3 학력평가 미적분 30번

Q2022년 3월 고3 학력평가 미적분 30번

다이아몬드 I

30. 그림과 같이 자연수 $n$ 에 대하여 곡선

T_n:y=\frac{\sqrt3}{n+1}x^2\quad(x\ge0)

위에 있고 원점 $O$ 와의 거리가 $2n+2$ 인 점을 $P_n$ 이라 하고, 점 $P_n$ 에서 $x$ 축에 내린 수선의 발을 $H_n$ 이라 하자.

중심이 $P_n$ 이고 점 $H_n$ 을 지나는 원을 $C_n$ 이라 할 때, 곡선 $T_n$ 과 원 $C_n$ 의 교점 중 원점에 가까운 점을 $Q_n$ , 원점에서 원 $C_n$ 에 그은 두 접선의 접점 중 $H_n$ 이 아닌 점을 $R_n$ 이라 하자.

점 $R_n$ 을 포함하지 않는 호 $Q_nH_n$ 과 선분 $P_nH_n$ , 곡선 $T_n$ 으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $f(n)$ , 점 $H_n$ 을 포함하지 않는 호 $R_nQ_n$ 과 선분 $OR_n$ , 곡선 $T_n$ 으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $g(n)$ 이라 할 때,