파란띠 5기출문제

2020학년도 10월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 나형 18번

$3$ 이상의 자연수 $n$ 에 대하여 집합

A_n=\{(p,q)\mid p<q\text{이고 }p,\ q\text{는 }n\text{ 이하의 자연수}\}

이다. 집합 $A_n$ 의 모든 원소 $(p,q)$ 에 대하여 $q$ 의 값의 평균을 $a_n$ 이라 하자. 다음은 $3$ 이상의 자연수 $n$ 에 대하여 $a_n=\frac{2n+2}3$ 임을 수학적 귀납법을 이용하여 증명한 것이다.

(ⅰ) $n=3$ 일 때, $A_3=\{(1,2),(1,3),(2,3)\}$ 이므로

$a_3=\frac{2+3+3}3=\frac83$ 이고 $\frac{2\times3+2}3=\frac83$ 이다.

그러므로 $a_n=\frac{2n+2}3$ 가 성립한다.

(ⅱ) $n=k$ ( $k\ge3$ )일 때, $a_k=\frac{2k+2}3$ 가 성립한다고

가정하자. $n=k+1$ 일 때,

A_{k+1}=A_k\cup\{(1,k+1),(2,k+1),\cdots,(k,k+1)\}

이고 집합 $A_k$ 의 원소의 개수는 $\boxed{\text{(가)}}$ 이므로

\begin{aligned}a_{k+1}&=\frac{\boxed{\text{(가)}}\times\frac{2k+2}3+\boxed{\text{(나)}}}{{}_{k+1}\mathrm C_2}\\&=\frac{2k+4}3=\frac{2(k+1)+2}3\end{aligned}

이다. 따라서 $n=k+1$ 일 때도 $a_n=\frac{2n+2}3$ 가 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $3$ 이상의 자연수 $n$ 에 대하여 $a_n=\frac{2n+2}3$ 이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 $f(k)$ , $g(k)$ 라 할 때, $f(10)+g(9)$ 의 값은? [4점]

정답률 –풀이 수 –정답 시 +15 Rating

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