13. 첫째항이 인 수열 의 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하자. 다음은 모든 자연수 에 대하여 가 성립할 때, 를 구하는 과정이다. 주어진 식 (*)에 의하여 이다. (*)에서 ㉠을 빼서 정리하면 이므로 이다. 이고, 이므로 모든 자연수 에 대하여 이다. 따라서 이다. 위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 이라 할 때, 의 값은? [4점]

2021년 7월 고3 학력평가 공통 13번

Q2021년 7월 고3 학력평가 공통 13번

실버 II

13. 첫째항이 $1$ 인 수열 $\{a_n\}$ 의 첫째항부터 제 $n$ 항까지의 합을 $S_n$ 이라 하자. 다음은 모든 자연수 $n$ 에 대하여

(n+1)S_{n+1}=\log_2(n+2)+\sum_{k=1}^{n}S_k\quad\cdots(*)

가 성립할 때, $\sum_{k=1}^{n}ka_k$ 를 구하는 과정이다.

주어진 식 (*)에 의하여

nS_n=\log_2(n+1)+\sum_{k=1}^{n-1}S_k\quad(n\ge2)\quad\cdots\text{㉠}

이다. (*)에서 ㉠을 빼서 정리하면

\begin{aligned}(n+1)S_{n+1}-nS_n&=\log_2(n+2)-\log_2(n+1)\\&\quad+\sum_{k=1}^{n}S_k-\sum_{k=1}^{n-1}S_k\quad(n\ge2)\end{aligned}

이므로

\boxed{\,\text{(가)}\,}\times a_{n+1}=\log_2\frac{n+2}{n+1}\quad(n\ge2)

이다.

$a_1=1=\log_2 2$ 이고,

2S_2=\log_2 3+S_1=\log_2 3+a_1

이므로 모든 자연수 $n$ 에 대하여

na_n=\boxed{\,\text{(나)}\,}

이다. 따라서

\sum_{k=1}^{n}ka_k=\boxed{\,\text{(다)}\,}

이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 $f(n),\ g(n),\ h(n)$ 이라 할 때, $f(8)-g(8)+h(8)$ 의 값은? [4점]

정답률 –풀이 수 –정답 시 +9 Rating

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