초록띠 3기출문제

2021학년도 7월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 공통 13번

수학도장2026.07.31

첫째항이 $1$ 인 수열 $\left\{a_n\right\}$ 의 첫째항부터 제 $n$ 항까지의 합을 $S_n$ 이라 하자. 다음은 모든 자연수 $n$ 에 대하여

\left(n+1\right)S_{n+1}=\log_2\left(n+2\right)+\sum_{k=1}^{n}S_k\quad\cdots\left(*\right)

가 성립할 때, $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}ka_k$ 를 구하는 과정이다.

주어진 식 (*)에 의하여

nS_n=\log_2\left(n+1\right)+\sum_{k=1}^{n-1}S_k\quad\left(n\ge2\right)\quad\cdots\text{㉠}

이다. (*)에서 ㉠을 빼서 정리하면

\begin{aligned}&\left(n+1\right)S_{n+1}-nS_n\\[6pt]&=\log_2\left(n+2\right)-\log_2\left(n+1\right)+\sum_{k=1}^{n}S_k-\sum_{k=1}^{n-1}S_k\quad\left(n\ge2\right)\end{aligned}

이므로

\left(\boxed{\,\left(\text{가}\right)\,}\right)\times a_{n+1}=\log_2\dfrac{n+2}{n+1}\quad\left(n\ge2\right)

이다.
$a_1=1=\log_2 2$ 이고, $2S_2=\log_2 3+S_1=\log_2 3+a_1$ 이므로 모든 자연수 $n$ 에 대하여

na_n=\boxed{\,\left(\text{나}\right)\,}

이다. 따라서

\sum_{k=1}^{n}ka_k=\boxed{\,\left(\text{다}\right)\,}

이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 $f\left(n\right),\,g\left(n\right),\,h\left(n\right)$ 이라 할 때, $f\left(8\right)-g\left(8\right)+h\left(8\right)$ 의 값은? [4점]

#수열의 합과 점화식 #추론·증명 #4점 #7월 학력평가 #2021년 시행 #2021학년도 #교육청

정답률 100%풀이 수 1정답 시 +8 Rating

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