2018학년도 4월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 나형 20번

그림과 같이 자연수 $n$에 대하여 한 변의 길이가 $2n$인 정사각형 $\mathrm{ABCD}$가 있고, 네 점 $\mathrm{E}$, $\mathrm{F}$, $\mathrm{G}$, $\mathrm{H}$가 각각 네 변 $\mathrm{AB}$, $\mathrm{BC}$, $\mathrm{CD}$, $\mathrm{DA}$ 위에 있다.
선분 $\mathrm{HF}$의 길이는 $\sqrt{4n^2+1}$이고 선분 $\mathrm{HF}$와 선분 $\mathrm{EG}$가 서로 수직일 때, 사각형 $\mathrm{EFGH}$의 넓이를 $S_n$이라 하자.
$\displaystyle \sum_{n=1}^{10}S_n$의 값은? [4점]