2004학년도 대학수학능력시험 수학 영역 인문계 18번

<증명>

$N=x^2+xy+y^2$이라 하고 $N$이 $10$의 배수라 하자.

$N$이 $10$의 배수이므로 $x,y$는 모두 짝수이다.

만일 $x,y$ 중 하나만 $10$의 배수이면 $N$은 $10$의 배수가 아니다.

한편, $x,y$가 모두 $10$의 배수가 아니면 $x^2$과 $y^2$의 일의 자리의 수는 $4$ 또는 $6$이다.

(ⅰ) $x^2$의 일의 자리의 수가 $4$이고 $y^2$의 일의 자리의 수가 $6$인 경우에 $x$의 일의 자리의 수가 될 수 있는 것은 $2$ 또는 $8$뿐이고, $y$의 일의 자리의 수가 될 수 있는 것은 $4$ 또는 $6$뿐이다. 따라서 $xy$의 일의 자리의 수가 될 수 있는 것은 $\boxed{\quad\text{({\char"AC00})}\quad}$뿐이므로 $N$은 $10$의 배수가 아니다.

(ⅱ) $x^2$의 일의 자리의 수가 $6$이고 $y^2$의 일의 자리의 수가 $4$인 경우에는 (ⅰ)의 경우와 마찬가지로 $N$은 $10$의 배수가 아니다.

(ⅲ) $x^2$과 $y^2$의 일의 자리의 수가 모두 $4$이거나 모두 $6$인 경우에 (ⅰ)의 경우처럼 하면 $xy$의 일의 자리의 수가 될 수 있는 것은 $\boxed{\quad\text{({\char"B098})}\quad}$뿐이므로 $N$은 $10$의 배수가 아니다.

따라서 $x^2+xy+y^2$이 $10$의 배수이면 $\boxed{\quad\text{({\char"B2E4})}\quad}$ $10$의 배수이다.