2020학년도 6월 고1 전국연합학력평가 수학 영역 18번

그림과 같이 한 변의 길이가 $20$인 정삼각형 ABC에 대하여 변 AB 위의 점 D, 변 AC 위의 점 G, 변 BC 위의 두 점 E, F를 꼭짓점으로 하는 직사각형 DEFG가 있다. 직사각형 DEFG의 넓이가 최대일 때, 삼각형 DBE에 내접하는 원의 둘레의 길이는 $(p\sqrt3+q)\pi$이다. $p^2+q^2$의 값은? (단, $p$, $q$는 유리수이다.) [4점]