2014학년도 3월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 B형 13번

그림과 같이 직선 $x+y=2$ 위의 점 $\mathrm{P}(a,b)$ $(ab\ne0)$에서 $x$축, $y$축에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$라 하고, 점 $\mathrm{P}$를 지나고 직선 $\mathrm{QR}$에 수직인 직선을 $l$이라 하자.

다음은 직선 $l$이 점 $\mathrm{P}$의 위치에 관계없이 항상 일정한 점을 지남을 보이는 과정이다.

점 $\mathrm{P}(a,b)$는 직선 $x+y=2$ 위의 점이므로

$$b=2-a$$

이때 직선 $l$의 기울기는 $\boxed{\text{(가)}}$이므로 직선 $l$의 방정식은

$$y-(2-a)=\boxed{\text{(가)}}(x-a)\quad\cdots\cdots\ \char"3260$$

한편, $\char"3260$이 $a$의 값에 관계없이 항상 성립하려면

$$x=\boxed{\text{(나)}},\ y=\boxed{\text{(다)}}$$

따라서 직선 $l$은 점 $\mathrm{P}$의 위치에 관계없이 항상 일정한 점을 지난다.

위의 과정에서 (가)에 알맞은 식을 $f(a)$라 하고, (나), (다)에 알맞은 수를 각각 $\alpha$, $\beta$라 할 때, $f\left(\frac43\right)+\alpha+\beta$의 값은? (단, $\mathrm{O}$는 원점이다.) [3점]