2021학년도 사관학교 1차 선발시험 수학 영역 가형 19번

그림과 같이 한 변의 길이가 $6$인 정사각형 $A_1B_1C_1D$에서 선분 $A_1D$를 $1:2$로 내분하는 점을 $E_1$이라 하고, 세 점 $B_1,C_1,E_1$을 지나는 원의 중심을 $O_1$이라 하자. 삼각형 $E_1B_1C_1$의 내부와 삼각형 $O_1B_1C_1$의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.

그림 $R_1$에서 선분 $E_1D$ 위의 점 $A_2$, 선분 $E_1C_1$ 위의 점 $B_2$, 선분 $C_1D$ 위의 점 $C_2$와 점 $D$를 꼭짓점으로 하는 정사각형 $A_2B_2C_2D$를 그린다. 정사각형 $A_2B_2C_2D$에서 선분 $A_2D$를 $1:2$로 내분하는 점을 $E_2$라 하고, 세 점 $B_2,C_2,E_2$를 지나는 원의 중심을 $O_2$라 하자. 삼각형 $E_2B_2C_2$의 내부와 삼각형 $O_2B_2C_2$의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n$의 값은? [4점]