2000학년도 대학수학능력시험 수학 영역 인문계 18번

〈증명〉

$4k+3$꼴의 소수가 유한개 있다고 가정하고, 이것을 $3,\ 7,\ 11,\ 19,\ \cdots,\ p$라 하자.

$n=4(7\cdot11\cdot19\cdot\;\cdots\;\cdot p)+3$이라 하면, $n$은 $3,\ 7,\ 11,\ 19,\ \cdots,\ p$로 $\boxed{\text{(가)}}$. $n$의 모든 소인수는 $4k+1$ 또는 $4k+3$꼴의 정수이고, $4k+1$꼴의 두 정수를 곱하면 $\boxed{\text{(나)}}$꼴의 정수이다. 그러므로 $n$의 모든 소인수가 $\boxed{\text{(나)}}$꼴이면, $n$도 $\boxed{\text{(나)}}$꼴이다. 이것은 모순이므로, $n$은 $\boxed{\text{(다)}}$꼴의 소인수 $q$를 갖는다. $n$은 $q$로 나누어 떨어지므로, $q$는 $3,\ 7,\ 11,\ 19,\ \cdots,\ p$가 아닌 소수이다. 즉, $3,\ 7,\ 11,\ 19,\ \cdots,\ p$가 아닌 $4k+3$꼴의 소수가 존재한다. 이것은 가정에 모순이다.

따라서, $4k+3$꼴의 소수는 무수히 많다.