파란띠 3기출문제

2020학년도 6월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 18번

그림과 같이 $\overline{\mathrm{OA}}=\overline{\mathrm{OB}}=1$ , $\angle\mathrm{AOB}=\theta$ 인 이등변삼각형 $\mathrm{OAB}$ 가 있다. 선분 $\mathrm{AB}$ 를 지름으로 하는 반원이 선분 $\mathrm{OA}$ 와 만나는 점 중 $\mathrm A$ 가 아닌 점을 $\mathrm P$ , 선분 $\mathrm{OB}$ 와 만나는 점 중 $\mathrm B$ 가 아닌 점을 $\mathrm Q$ 라 하자. 선분 $\mathrm{AB}$ 의 중점을 $\mathrm M$ 이라 할 때, 다음은 부채꼴 $\mathrm{MPQ}$ 의 넓이 $S(\theta)$ 를 구하는 과정이다. (단, $0<\theta<\frac\pi2$ )

삼각형 $\mathrm{OAM}$ 에서 $\angle\mathrm{OMA}=\frac\pi2$ , $\angle\mathrm{AOM}=\frac\theta2$ 이므로

\overline{\mathrm{MA}}=\boxed{\text{(가)}}

이다. 한편, $\angle\mathrm{OAM}=\frac\pi2-\frac\theta2$ 이고 $\overline{\mathrm{MA}}=\overline{\mathrm{MP}}$ 이므로

\angle\mathrm{AMP}=\boxed{\text{(나)}}

이다. 같은 방법으로

$\angle\mathrm{OBM}=\frac\pi2-\frac\theta2$ 이고 $\overline{\mathrm{MB}}=\overline{\mathrm{MQ}}$ 이므로

\angle\mathrm{BMQ}=\boxed{\text{(나)}}

이다. 따라서 부채꼴 $\mathrm{MPQ}$ 의 넓이 $S(\theta)$ 는

S(\theta)=\frac12\times\left(\boxed{\text{(가)}}\right)^2\times\boxed{\text{(다)}}

이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 $f(\theta)$ , $g(\theta)$ , $h(\theta)$ 라 할 때, $\frac{f\left(\frac\pi3\right)\times g\left(\frac\pi6\right)}{h\left(\frac\pi4\right)}$ 의 값은? [4점]