함수 f(x)=3x+33x에 대하여 점 (p,q)가 곡선 y=f(x) 위의 점이면 실수 p의 값에 관계없이 점 (2a−p,a−q)도 항상 곡선 y=f(x) 위의 점이다. 다음은 상수 a의 값을 구하는 과정이다.
점 (2a−p,a−q)가 곡선 y=f(x) 위의 점이므로
32a−p+332a−p=a−(가 )⋯⋯㉠ 이다. ㉠은 실수 p의 값에 관계없이 항상 성립하므로
p=0일 때 , 32a+332a=a−41⋯⋯㉡ 이고,
p=1일 때 , 32a+(나 )32a=a−21⋯⋯㉢ 이다. ㉡, ㉢에서
(32a+3)(32a+(나 ))=24×32a 이므로
a=21 또 는 a=(다 ) 이다. 이때, ㉢에서 좌변이 양수이므로 a>21이다.
따라서 a=(다 )이다.
위의 (가)에 알맞은 식을 g(p)라 하고 (나)와 (다)에 알맞은 수를 각각 m, n이라 할 때, (m−n)×g(2)의 값은? [4점]
