2019학년도 대학수학능력시험 수학 영역 가형 19번

한 변의 길이가 $12$인 정삼각형 $\mathrm{BCD}$를 한 면으로 하는 사면체 $\mathrm{ABCD}$의 꼭짓점 $\mathrm A$에서 평면 $\mathrm{BCD}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm H$라 할 때, 점 $\mathrm H$는 삼각형 $\mathrm{BCD}$의 내부에 놓여 있다. 삼각형 $\mathrm{CDH}$의 넓이는 삼각형 $\mathrm{BCH}$의 넓이의 $3$배, 삼각형 $\mathrm{DBH}$의 넓이는 삼각형 $\mathrm{BCH}$의 넓이의 $2$배이고 $\overline{\mathrm{AH}}=3$이다. 선분 $\mathrm{BD}$의 중점을 $\mathrm M$, 점 $\mathrm A$에서 선분 $\mathrm{CM}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm Q$라 할 때, 선분 $\mathrm{AQ}$의 길이는? [4점]