2012학년도 대학수학능력시험 수리 영역 나형 28번

좌표평면에서 자연수 $n$에 대하여 점 $P_n$의 좌표를 $(n,3^n)$, 점 $Q_n$의 좌표를 $(n,0)$이라 하자. 사각형 $P_nQ_{n+1}Q_{n+2}P_{n+1}$의 넓이를 $a_n$이라 할 때, $\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{a_n}=\frac qp$이다. $p^2+q^2$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]