2000학년도 대학수학능력시험 수학 영역 예·체능계 18번

〈증명〉

$4k+3$ 꼴의 소수가 유한개 있다고 가정하고, 이것을 $3,\,7,\,11,\,19,\,\cdots,\,p$라 하자.

$n=4(7\cdot11\cdot19\cdot\,\cdots\,\cdot p)+3$이라 하면, $n$은 $3,\,7,\,11,\,19,\,\cdots,\,p$로 $\boxed{\text{(가)}}$. $n$의 모든 소인수는 $4k+1$ 또는 $4k+3$ 꼴의 정수이고, $4k+1$ 꼴의 두 정수를 곱하면 $\boxed{\text{(나)}}$ 꼴의 정수이다. 그러므로 $n$의 모든 소인수가 $\boxed{\text{(나)}}$ 꼴이면, $n$도 $\boxed{\text{(나)}}$ 꼴이다. 이것은 모순이므로, $n$은 $\boxed{\text{(다)}}$ 꼴의 소인수 $q$를 갖는다. $n$은 $q$로 나누어 떨어지므로, $q$는 $3,\,7,\,11,\,19,\,\cdots,\,p$가 아닌 소수이다. 즉, $3,\,7,\,11,\,19,\,\cdots,\,p$가 아닌 $4k+3$ 꼴의 소수가 존재한다. 이것은 가정에 모순이다.

따라서, $4k+3$ 꼴의 소수는 무수히 많다.