20. 등차수열 의 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하자. 수열 은 모든 자연수 에 대하여 를 만족시킨다. 다음은 일 때, 의 값을 구하는 과정이다. 수열 이 등차수열이므로 자연수 에 대하여 …… ㉠ (ⅰ) ( 는 자연수)일 때, ㉠에 의하여 (ⅱ) ( 는 자연수)일 때, (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 …… ㉡ 이다. ㉡에 의하여 이다. 위의 (가)와 (나)에 알맞은 식을 각각 , 라 하고, (다)에 알맞은 수를 라 할 때, 의 값을 구하시오. [4점]

2027학년도 7월 인천교육청 공통 20번

Q2027학년도 7월 인천교육청 공통 20번

실버 III

20. 등차수열 $\{a_n\}$ 의 첫째항부터 제 $n$ 항까지의 합을 $S_n$ 이라 하자. 수열 $\{b_n\}$ 은 모든 자연수 $n$ 에 대하여

b_n= \begin{cases} 2(S_n-na_n) & (n\text{이 홀수인 경우})\\ (n-1)a_n & (n\text{이 짝수인 경우}) \end{cases}

를 만족시킨다.

다음은 $b_2=2$ 일 때, $\displaystyle\sum_{n=1}^{20}b_n$ 의 값을 구하는 과정이다.

수열 $\{a_n\}$ 이 등차수열이므로

자연수 $n$ 에 대하여 $S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}2$ …… ㉠

(ⅰ) $n=2k-1$ ( $k$ 는 자연수)일 때,

㉠에 의하여

b_{2k-1}=2\times\left\{\frac{(2k-1)(a_1+a_{2k-1})}{2}-(2k-1)a_{2k-1}\right\}

=\boxed{\text{(가)}}\times(a_1-a_{2k-1})

(ⅱ) $n=2k$ ( $k$ 는 자연수)일 때,

$b_{2k}=(2k-1)a_{2k}$

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여

b_{2k-1}+b_{2k}=\boxed{\text{(가)}}\times(a_1-a_{2k-1})+(2k-1)a_{2k}

=\boxed{\text{(나)}}

…… ㉡

이다.

㉡에 의하여

\sum_{n=1}^{20}b_n=(b_1+b_2)+(b_3+b_4)+\cdots+(b_{19}+b_{20})

=\boxed{\text{(다)}}

이다.

위의 (가)와 (나)에 알맞은 식을 각각 $f(k)$ , $g(k)$ 라 하고, (다)에 알맞은 수를 $p$ 라 할 때, $f(2)+g(3)+p$ 의 값을 구하시오. [4점]

정답률 –풀이 수 –정답 시 +8 Rating

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