다음은 점 \mathrm P(x,y) 를 원점을 중심으로 \theta 만큼 회전이동 시키는 일차변환을 나타내는 행렬이 \begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix} 임을 증명하는 과정이다. 그림에서 직사각형 \mathrm{OAPB} 를 원점 \mathrm O 를 중심으로 \theta 만큼 회전시킨 직사각형을 \mathrm{OA'P'B'} 라 하면 \angle\mathrm{AOA'}=\angle\mathrm{POP'}=\angle\mathrm{BO…

밤띠 5기출문제

2003학년도 4월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 자연계 22번

다음은 점 $\mathrm P(x,y)$ 를 원점을 중심으로 $\theta$ 만큼 회전이동 시키는 일차변환을 나타내는 행렬이 $\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$ 임을 증명하는 과정이다.

<증명>

그림에서 직사각형 $\mathrm{OAPB}$ 를 원점 $\mathrm O$ 를 중심으로 $\theta$ 만큼 회전시킨 직사각형을 $\mathrm{OA'P'B'}$ 라 하면

\angle\mathrm{AOA'}=\angle\mathrm{POP'}=\angle\mathrm{BOB'}=\theta

점 $\mathrm A'$ 의 좌표는 $\mathrm A'\left(x\cos\theta,\ \boxed{\text{(가)}}\right)$

점 $\mathrm B'$ 의 좌표는 $\mathrm B'\left(\boxed{\text{(나)}},\ y\sin\left(\frac\pi2+\theta\right)\right)$

이 때, 직사각형 $\mathrm{OA'P'B'}$ 에서 두 대각선 $\mathrm{OP'}$ 과 $\mathrm{A'B'}$ 의 중점은 일치하므로

x'=x\cos\theta-y\sin\theta

y'=x\sin\theta+y\cos\theta

따라서, 이 변환은 일차변환이고, 행렬로 나타내면

$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ 이다.

위의 <증명>과정에서 다음 중 (가), (나)에 알맞은 것은? [3점]

	(가)	(나)
①	$y\cos\theta$	$y\cos\left(\frac\pi2+\theta\right)$
②	$x\sin\theta$	$y\cos\left(\frac\pi2+\theta\right)$
③	$x\cos\theta$	$x\cos\left(\frac\pi2+\theta\right)$
④	$y\sin\theta$	$y\sin\left(\frac\pi2+\theta\right)$
⑤	$x\sin\theta$	$x\sin\left(\frac\pi2+\theta\right)$

#삼각함수 #추론·증명 #4월 학력평가 #3점 #2003년 시행 #행렬 #2003학년도 #교육청

댓글을 불러오는 중…

댓글을 작성하려면 로그인하세요

수학도장

수학 문제를 풀어 레이팅을 쌓고, 직접 만든 문제를 공식 문제로 등록하는 수학 랭크 플랫폼

support@mathdojang.com

서비스

문제 기출문제 문제집 커뮤니티 출제하기 프로필 업데이트

채널

유튜브 수학한수공식 시즌전 (예정)

정책

이용약관 개인정보 처리방침 저작권 정책 공식 등록 이용 조건

문제 목록