원천점과 수열의 점화식

두 정수 $x, y$의 최대공약수가 $1$일 때, 순서쌍 $(x, y)$를 '원천점'이라 하자. 첫째항과 둘째항이 모두 $1$인 수열 ${a_n}$이 모든 자연수 $n$에 대하여

을 만족시킨다. 계수가 모두 정수인 다항식

가 세 원천점 $(a_1, a_3), (a_3, a_5), (a_5, a_7)$에 대하여 $P(a_1, a_3) = 1, \quad P(a_3, a_5) = 1, \quad P(a_5, a_7) = 1$을 만족시킨다. $\displaystyle\sum_{k=1}^{7} \left\{ P(a_k, a_{k+2}) \times a_k a_{k+1} \right\}$의 값을 구하시오.